Meio Mormo De Movimento Browniano

Forte aproximação do movimento browniano fracionado, movendo as médias de passeios aleatórios simples Paacutel Reacuteveacutesz por ocasião do seu 65º aniversário Tamaacutes Szabados Departamento de Matemática, Universidade Técnica de Budapeste, Egry u 20-22, H eacutep. V em. Budapeste, 1521, Hungria Recebido 19 de dezembro de 1999, revisado em 29 de agosto de 2000, aceito em 4 de setembro de 2000, disponível on-line 9 de fevereiro de 2001 O movimento browniano fracionado é uma generalização do movimento Browniano comum, especialmente quando a dependência de longo alcance é necessária. Sua introdução explícita é devido a Mandelbrot e van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) como um processo gaussiano auto-similar W (H) (t) com incrementos estacionários. Aqui, a auto-semelhança significa isso. Onde H isin (0,1) é o parâmetro Hurst do movimento browniano fracionário. F. B. Knight deu uma construção do movimento browniano comum como um limite de passeios aleatórios simples em 1961. Mais tarde, seu método foi simplificado por Reacuteveacutesz (Random Walk in Random and Non-Random Environments, World Scientific, Singapore, 1990) e, em seguida, por Szabados (Studia Sci Math. Hung. 31 (1996) 249ndash297). Esta abordagem é bastante natural e elementar, e, como tal, pode ser estendida a situações mais gerais. Com base nisso, aqui usamos as médias móveis de uma seqüência aninhada adequada de caminhadas aleatórias simples que quase com certeza convergem uniformemente para o movimento Browniano fracionário em compactos quando. A taxa de convergência provada neste caso é. Onde N é o número de passos usados ​​para a aproximação. Se o mais preciso (mas também mais intrincado) Komloacutes et al. (1975,1976) é usada em vez disso para incorporar passeios aleatórios no movimento browniano comum, então o mesmo tipo de médias móveis quase certamente convergem uniformemente para o movimento Browniano fracionário em compactos para qualquer H isin (0,1). Além disso, a taxa de convergência é conjecturada para ser a melhor possível. Embora apenas seja provado aqui. Movimento browniano fracionado Construção do caminho Construção forte Caminhada aleatória Mover média 1. Movimento browniano fracionado O movimento browniano fracionado (fBM) é uma generalização do movimento browniano comum (BM) usado particularmente quando a dependência de longo alcance é essencial. Embora a história do fBM possa ser rastreada até Kolmogorov (1940) e outros, sua introdução explícita é devida a Mandelbrot e van Ness (1968). A intenção era definir um auto-similar. Processo gaussiano centrado W (H) (t) (t0) com incrementos estacionários, mas não independentes e com caminhos de amostra contínuos a. s. Aqui, a auto-semelhança significa que para qualquer um gt0, onde H isin (0,1) é o parâmetro Hurst do fBM e denota igualdade na distribuição. Eles mostraram que essas propriedades caracterizam o fBM. O caso reduz-se ao BM comum com incrementos independentes, enquanto os casos (resp.) Dão incrementos negativos (ou positivamente) correlacionados, ver Mandelbrot e van Ness (1968). Parece que nas aplicações do fBM, o caso é o mais utilizado. Mandelbrot e van Ness (1968) deram a seguinte representação explícita de fBM como uma média móvel de BM normal, mas de dois lados: onde t 0 e (x) max (x, 0). A idéia de (2) está relacionada ao cálculo fracionário determinista. Que tem uma história ainda maior do que fBM, voltando para Liouville, Riemann e outros em Samko et al. (1993). O caso mais simples é quando uma função contínua f e um número inteiro positivo são fornecidos. Então, uma indução com integração por partes pode mostrar que é a ordem de iteração antiderivada (ou integral de ordem) de f. Por outro lado, esta integral também está bem definida para valores positivos não inteiros, caso em que pode ser chamado de uma integral fracionada de f. Então, heuristicamente, a parte principal de (2), é a integral da ordem do processo de ruído branco (no sentido comum inexistente) W prime (t). Assim, o fBM W (H) (t) pode ser considerado como uma modificação de incremento estacionário da integral fracionada W (t) do processo de ruído branco, onde. Médias móveis góussas, semimartingales e preço de opção Nós fornecemos uma caracterização do gaussiano Processos com incrementos estacionários que podem ser representados como uma média móvel em relação a um movimento Brownian de dois lados. Para tal processo, damos uma condição necessária e suficiente para ser um semimartingale em relação à filtração gerada pelo movimento Brownian de dois lados. Além disso, mostramos que esta condição implica que o processo é de variação finita ou um múltiplo de um movimento browniano em relação a uma medida de probabilidade equivalente. Como um aplicativo, discutimos o problema do preço das opções em modelos financeiros, impulsionados por médias móveis Gaussianas com incrementos estacionários. Em particular, derivamos os preços das opções em uma versão fraccionada regularizada do modelo BlackndashScholes. Processos gaussianos Mudança de representação média Semimartingales Medidas de martingale equivalentes Preço de opção 1. Introdução Seja um espaço de probabilidade equipado com um movimento Brownian de dois lados. Isto é, um processo gaussiano centrado contínuo com covariância Para uma função que é zero no eixo real negativo e satisfaz para todos os t gt0, pode-se definir o processo gaussiano centrado com incrementos estacionários. O objetivo deste trabalho é o estudo de processos de A forma (1.1) com vista à modelagem financeira. Se (X t) t 0 for um processo estocástico. Nós denotamos pela menor filtração que satisfaz os pressupostos usuais e contém a filtração. Dizemos a menor filtração que satisfaça os pressupostos usuais e contém a filtração. A estrutura do papel é a seguinte. Na seção 2, lembramos um resultado de Karhunen (1950). O que proporciona as condições necessárias e suficientes para um processo gaussiano centralizado estacionável para ser representável na forma onde. Na Seção 3, damos uma caracterização desses processos da forma (1.1) que são - semimartingales e mostramos que eles são processos de variação finita, ou para cada T isin (0, infin), existe uma medida de probabilidade equivalente segundo a qual (Y t) t isin0, T é um múltiplo de um movimento browniano. Na Seção 4, aplicamos uma transformação introduzida em Masani (1972) para estabelecer uma correspondência um-para-um entre processos gaussianos centralizados estacionários e processos gaussianos centrados com incrementos estacionários que são zero para t 0. Isso nos permite estender o resultado de Karhunens a centrado Processos gaussianos com incrementos estacionários e para mostrar que todo processo da forma (1.1) pode ser aproximado por semimartingales da forma (1.1). Ao transferir os resultados da Seção 3 de volta ao quadro dos processos gaussianos centralizados estacionados, obtemos uma extensão do Teorema 6.5 do Cavaleiro (1992). O que dá uma condição necessária e suficiente para que um processo da forma (1.2) seja um - ememinerante. Na Seção 5, discutimos o problema do preço das opções em modelos financeiros orientados por processos do formulário (1.1). Como exemplo, nós classificamos uma opção de chamada européia em um modelo de BlackndashScholes fracionado regularizado. Referências 1 Cheridito, P. (2001). Regularizando o movimento browniano fracionário com vista à modelagem de preços das ações. Ph. D. Tese, ETH Zurich. 2 Cherny, A. S. (2007). Modelo de tarifação geral de arbitragem: custos de transação. 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